++w++ ICPCライブラリ

++w++(amylase, y3eadgbe, atetubou(is2012))で使用する ICPC ライブラリ置き場。 (last updated: 7/13 2:20)

• TODO
  • 線型計画を二段階単体法にする。
  • 幾何(線分アレンジメント)
  • 文字列(KMP method, Aho-Corasick algorithm)
  • (ここには載せないが、蟻本から最大流・最小費用流・拡張ユークリッド・連立線型合同式を持っていく)
  • 余裕があれば有名問題を増やす。
    • グラフ彩色

テンプレート

#include <iostream>
#include <vector>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <complex>

using namespace std;

#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define F first
#define S second
#define SZ(a) (int)((a).size())

• だいたいコードの先頭にあると考えておいてね。

幾何

基本要素

// primitives
typedef long double Real;
typedef complex<Real> Point;
typedef pair<Point, Point> Line;
typedef pair<Point, Real> Circle;
typedef vector<Point> Poly;

Real eps = 1e-9;

inline istream& operator>>(istream& s, Point& p) {return s >> p.real() >> p.imag();}
inline bool near(const Point& p, const Point& q){return abs(p - q) < eps;}

• Real : long double, double の切り替え用に。
• Point : 点もしくはベクトル。abs(x) で長さ。arg(x) で偏角[-pi, +pi]。a + bi = pt(a, b)
• Line : 線分・直線。通る2点（線分では両端）。
• Circle : 円。中心点と半径。
• Poly : 多角形。反時計回りに頂点を持つ。
• eps : 許容誤差。問題によって値を修正する。

• operator>> : (x座標) (y座標) と来た時に一発で読み取る。

• near : 誤差を許容して同じ点かどうか見るよ。

内積・外積の大きさ

inline Real dot(const Point& p, const Point& q){return p.real() * q.real() + p.imag() * q.imag();}
inline Real cross(const Point& p, const Point& q){return p.real() * q.imag() - p.imag() * q.real();}

• dot : a, b の内積。射影を取ったりするときに使う。
• cross : a, b が張る平行四辺形の面積。三角形の面積とか。a, b を通る直線上の点 x が cross(x, b) = cross(a, b) を満たすことから、abの法線を軸としたパラメータとの解釈もある。

3点の位置関係

// ccw_b : old version of ccw.
inline Real ccw_b(const Point& p, const Point& q, const Point& r) {return cross(q - p, r - p);}

/* ccw :
CD  : counter direction
CW  : clock wise
OS  : on segment
CCW : counter clock wise
D   : direction
 */
enum LPposit { P_CD = -2, P_CW = -1, P_OS = 0, P_CCW = 1, P_D = 2};
LPposit ccw(const Point& p, const Point& q, const Point& r) {
  Real c = ccw_b(p, q, r);
  if (c < -eps) return P_CW;
  if (c >  eps) return P_CCW;
  if (dot(q - p, r - p) < -eps) return P_CD;
  if (dot(p - q, r - q) < -eps) return P_D;
  return P_OS;
}

• ccw_b : 上で述べた cross のパラメータ解釈での値を計算。
• ccw : コメント参照!

点と直線の距離

inline Real Sabs(const Line& l) {return abs(l.first - l.second); }
inline Real LPdist(const Line& l, const Point& p) {return abs(ccw_b(l.first, l.second, p)) / Sabs(l); }

inline Real SPdist(Line l, Point p) {
    Real a = abs(l.first  - p);
    Real b = abs(l.second - p);
    Real c = Labs(l);
    if (b * b + c * c > a * a && a * a + c * c > b * b){
        return LPdist(l, p);
    }
    return min(a, b);
}

• Sabs : 線分の長さ。
• LPdist : 点と直線の距離。
• SPdist : 点と線分の距離。
  • L : line, S : segment, P : point

線分の交差判定

bool crossS(const Line& p, const Line& q){
  return
    ccw(p.first, p.second, q.first) * ccw(p.first, p.second, q.second) <= 0 &&
    ccw(q.first, q.second, p.first) * ccw(q.first, q.second, p.second) <= 0;
}

• 線分 p と q が交差するかどうか。

直線の交点

Point intersect(const Line& p, const Line& q) {
  Point vp = p.second - p.first;
  Point vq = q.second - q.first;
  Point c(cross(vp, p.first), cross(vq, q.first));
  return Point(cross(c, Point(vp.real(), vq.real())), cross(c, Point(vp.imag(), vq.imag()))) / cross(vp, vq);
}

多角形の面積

Real area(const Poly& p) {
  Real ret = 0.0;
  for(Poly::iterator it = p.begin(); it != p.end(); it++) ret += cross(*it, *(it + 1));
  return ret / 2;
}

• 多角形の面積。凸性は仮定しない。O(n)。
• 時計回りの時は面積が -1 倍される。abs 取ろう。

円と直線の交点

vector<Point> circle_line_intersect(line l,circle c){
  vector<Point> ret;
  Real di = dist(l,c.first);
  Real r=c.second;
  if(di+EPS > r) return ret;
  Point v=(l.second-l.first);
  v/=abs(v);  
  Point rv=v*Point(0,1);
  rv*=di;  
  if(dist(l,c.first+rv) > di+EPS) rv = -rv;
  v*=sqrt(r*r-di*di);
  ret.push_back(c.first+rv-v);
  ret.push_back(c.first+rv+v);
  return ret;
}

• 円と直線の交点を求める。
• 円が直線と接しない場合はemptyを返し、それ以外は取り敢えず二つの要素を持つvectorを返す。

円の共通接線

vector<Line> common_tangent (Circle p, Circle q) {
    Real pr = p.second, qr = q.second;
    Point pc = p.first, qc = q.first;
    Real d = abs(pc - qc), dr = abs(pr - qr), sr = abs(pr + qr);

    vector<Line> ret;
    if (d > sr) {
        // cross pair
        Point cp = (pc * qr + qc * pr) / sr;
        vector<Point> pts = tangent(cp, p), qts = tangent(cp, q);
        ret.push_back(Line(pts[0], qts[0]));
        ret.push_back(Line(pts[1], qts[1]));
    } else if (abs(d - sr) < eps) {
        // cross pair coinside
        Point cp = (pc * qr + qc * pr) / sr;
        ret.push_back(Line(cp, cp));
    } 

    if (d > dr) {
        // outer pair
        if (abs(pr - qr) < eps) {
            Point v = (qc - pc) / d;
            v *= Point(0, 1);
            ret.push_back(Line(pc + v, qc + v));
            ret.push_back(Line(pc - v, qc - v));
        } else {
            Point cp = pc + (qc - pc) * pr / (pr - qr);
            vector<Point> pts = tangent(cp, p), qts = tangent(cp, q);
            ret.push_back(Line(pts[0], qts[0]));
            ret.push_back(Line(pts[1], qts[1]));
        }
    } else if (abs(d - dr) < eps) {
        // outer pair coinside
        Point cp = (qc - pc) * pr / (pr - qr);
        ret.push_back(Line(cp, cp));
    } 

    return ret;
}

• vector<line> の各要素が接線。

凸包

// convex-hull                                                                  
// return minimum convex polygon that contains every point in vs.               
// depend on ccw                                                                
namespace std{
  bool operator<(const Point& a, const Point& b) {
    return a.real() != b.real() ? a.real() < b.real() : a.imag() < b.imag();
  }
}

Poly convexHull(vector<Point> ps) {
  int n = ps.size();
  sort(ps.begin(), ps.end());

  Poly ret(2 * n);
  int m = 0;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    while (m >= 2 && ccw(ret[m-2], ret[m-1], ps[i]) < 0) m--;
    ret[m++] = ps[i];
  }

  int t = m;
  for (int i = n-2; i >= 0; i--) {
    while (m >= t && ccw(ret[m-2], ret[m-1], ps[i]) < 0) m--;
    ret[m++] = ps[i];
  }

  ret.resize(m - 1);
  return ret;
}

• Point の座標軸ソートもついてる。
• convexHull : ps に含まれる点をすべて含む最小の凸多角形を返す。spaghetthi source を参考にしたよ。

円の交点

vector<Point> CCintersect (Circle c, Circle d) {
    vector<Point> ret;
    const Real dist = abs(c.first - d.first);
    const Real cr = c.second;
    const Real dr = d.second;

    if (dist > cr + dr) return ret;
    if (dist < abs(cr - dr)) return ret;

    const Real s = (cr + dr + dist) / 2.;
    const Real area = sqrt(s * (s - cr) * (s - dr) * (s - dist));
    const Real h = 2 * area / dist;

    Point v = d.first - c.first; v /= abs(v);
    const Point m = c.first + sqrt(cr * cr - h * h) * v;
    const Point n = v * Point(0, 1);

    ret.push_back(m + n * h);
    ret.push_back(m - n * h);
    return ret;
}

数論

ミラー・ラビン素数判定法

long long powmod(long long x, long long p, long long m){
  if(p == 0) return 1;
  long long rt = powmod(x, p/2, m);
  if(p % 2 == 0){
    return rt * rt % m;
  } else {
    return (rt * rt % m) * x % m;
  }
}

int miller_test[9] = {2,3,5,7,11,13,17,19,23};
bool isprime(long long n){
  if(n <= ISPR_MAX) return !isnpr[n];

  long long d = n-1, s = 0;
  while(d%2 == 0){
    d /= 2;
    s++;
  }

  for(int i=0; i<9; i++){
    bool iscomp = true;
    li x = powmod(miller_test[i], d, n);
    iscomp = iscomp && (x % n != 1);

    for(int r=0; r<s; r++){
      iscomp = iscomp && (x % n != n-1);
      x = x * x % n;
    }
    if(iscomp) return false;
  }

  return true;
}

ポラード・ロー素因数分解法

long long myrand(long long c, long long n, long long x){
  return (x * x + c) % n;
}
 
long long pollard(long long n){
  long long x = 2, y = 2, d = 1, c = rand();
  while(d == 1){
    x = myrand(c, n, x);
    y = myrand(c, n, myrand(c, n, y));
    d = __gcd(abs(x-y), n);
  }
  return d;
}

素数列挙

• 改良エラトステネスの篩
• 普通に篩うより2倍ぐらい早い

• 参考：http://d.hatena.ne.jp/uwitenpen/20111203

vector<int> getPrime(const int n) {
    const int ub = (n - 1) / 2;
    const int sqrtub = (sqrt(n) - 1) / 2;
    vector<int> res;
    if (n <= 1) return res;
    res.push_back(2);

    bool *isNotPrime = new bool[ub + 1];
    for (int i = 0; i <= ub; i++)isNotPrime[i] = (i % 3 == 1);
    isNotPrime[1] = false;
    
    for (int i = 2; i <= sqrtub; i++) {
        if (!isNotPrime[i]) {
            int d = i * 2 + 1;
            for (int j = 3 * i + 1; j <= ub; j += d) {
                isNotPrime[j] = true;
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= ub; i++) {
        if (!isNotPrime[i]) {
            res.push_back(i * 2 + 1);
        }
    }
    delete[] isNotPrime;
    return res;
}

数学

行列乗算

typedef vector<vector<li> > matrix;
const li mod = 1000000007;

matrix ident(const int& n) {
    matrix ret(n, vi(n, 0));
    rep(i, n) ret[i][i] = 1;
    return ret;
}

matrix matadd(const matrix& p, const matrix& q) {
    int n = p.size(), m = p[0].size();
    matrix ret = p;
    rep(i, n) rep(j, m) ret[i][j] = (p[i][j] + q[i][j]) % mod;
    return ret;
}

matrix matmul(const matrix& p, const matrix& q) {
    int n = p.size(), m = q[0].size(), l = p[0].size();
    matrix ret = matrix(n, vi(m, 0));
    rep(i, n) rep(j, m) rep(k, l) ret[i][j] = (ret[i][j] + p[i][k] * q[k][j] % mod) % mod;
    return ret;
}

matrix matpow(const matrix& p, const li& x) {
    if (x == 0) return ident(p.size());
    if (x == 1) return p;
    matrix ret = matpow(p, x / 2);
    ret = matmul(ret, ret);
    if (x % 2) ret = matmul(ret, p);
    return ret;
}

• 2次元配列で行列を表現。エラーチェックなし。mod とってます。

畳み込み

typedef double Real;
typedef complex<Real> Complex;

vector<Complex> fastFourierTransform(const vector<Complex>& x) {
    if (__builtin_popcount(x.size()) > 1) {
        cerr << "fastFourierTransform: x.size() should be power of 2." << endl;
        return x;
    }

    const int n = x.size();
    if (n == 1) {
        return x;
    }

    vector<Complex> even(n / 2), odd(n / 2), ret(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (i % 2 == 0) {
            even[i / 2] = x[i];
        } else {
            odd[i / 2] = x[i];
        }
    }

    even = fastFourierTransform(even);
    odd = fastFourierTransform(odd);

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int j = i % (n / 2);
        ret[i] = even[j] + odd[j] * exp(Complex(0, -2 * M_PI * i / n));
    }

    return ret;
}

vector<Complex> inverseFastFourierTransform(vector<Complex> x) {
    const int n = x.size();
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        x[i] = conj(x[i]);
    }
    x = fastFourierTransform(x);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        x[i] = conj(x[i]) / Complex(n);
    }
    return x;
}

int conv_minpow2(int x) {
    int ret = 1;
    while (ret < x) ret <<= 1;
    return ret;
}

vector<Complex> convolution(vector<Complex> x,
                            vector<Complex> y) {
    int l = 2 * max(conv_minpow2(x.size()), conv_minpow2(y.size()));
    x.resize(l);
    y.resize(l);

    x = fastFourierTransform(x);
    y = fastFourierTransform(y);

    vector<Complex> ret(l);
    for (int i = 0; i < l; i++) {
        ret[i] = x[i] * y[i];
    }

    ret = inverseFastFourierTransform(ret);
    while (not ret.empty() && ret.back() == Complex(0)) ret.pop_back();
    return ret;
}

• 高速フーリエ変換による畳み込み演算。O(n log n)。
• 多項式の掛け算がナイーブにやるとO(n^2)だが畳込みを使うと計算量が落ちたり。

有名問題

線型計画法

// linear programming by simplex method
// solve maximize(cx) s.t. Ax <= a
// if not bounded, return -1.
double simplex(vector<double>& c, 
               vector<vector<double> >& A,
               vector<double>& a) {
  // introduce slack variable
  int n = c.size(), m = a.size(), dim = n + m;
  vector<int> N(n), B(m);
  for (int i = 0; i < n; ++i) N[i] = i;
  for (int i = 0; i < m; ++i) {
    B[i] = i + n;
    c.push_back(0);
    for (int j = 0; j < n; j++) A[i][j] *= -1;
    for (int j = 0; j < m; j++) A[i].push_back(0);
  }

  double ans = 0;

  while (true) {
    // check optimized or not
    int s = -1;
    for (int i = 0; i < n; i++) if (c[N[i]] > 0) s = N[i];
    if (s < 0) break;

    // check bounded or not
    double bound = 1e300;
    int r = -1;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
      if (A[i][N[s]] < 0) {
        double nbound = -a[i] / A[i][N[s]];
        if (nbound < bound) {
          bound = nbound;
          r = i;
        }
      }
    }

    if (r < 0) return -1;

    // pivotting
    for (int i = 0; i < dim; i++) if (i != N[s]) A[r][i] /= -A[r][N[s]];
    a[r] /= -A[r][N[s]];
    A[r][B[r]] = 1.0 / A[r][N[s]];
    A[r][N[s]] = 0;

    for (int i = 0; i < m; i++) {
      if (i == r) continue;

      for (int j = 0; j < dim; j++) if (j != N[s]) A[i][j] += A[i][N[s]] * A[r][j];
      a[i] += A[i][N[s]] * a[r];
      A[i][N[s]] = 0;
    }

    ans += c[N[s]] * a[r];
    for (int i = 0; i < dim; i++) if (i != N[s]) c[i] += c[N[s]] * A[r][i];
    c[N[s]] = 0;

    swap(N[s], B[r]);
  }

  return ans;
}

• simplex(c, A, a) : maximize cx, where Ax <= a, x >= 0 なる線型計画問題を単体法で解く。

• x = 0 が実行可能解であることを仮定している（つまり、TODOとして二段階単体法に改善することがあげられる）。
• 発散する場合には -1 を返す。有限な最適解は必ず正になっているはずなので、正負を見れば発散したかどうかがわかる。

リンク

参考文献

• 各種アルゴリズムの C++ による実装 - Spaghetti Source

その他便利そうなの

• imosさんの幾何ビジュアライザ